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« Travaux personnels encadrés »

 

 

 

 

 

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Le nombre π

Comment approximer le nombre π ?

 

 

 

 

Par

 

HENDEL Martin

OET Julien

UZAN Raphaël

 

 

 

 

Lycée Victor DURUY, Paris

 

Recherches éditées le 13 juin. 05

 

 

 

 

Introduction

Tous les cercles ont au moins une chose en commun : si on divise leur circonférence par leur diamètre, on obtient 3,1415926... Le nombre Pi qui exprime le rapport entre la circonférence et le diamètre d'un cercle (= C/D) correspond également à la surface du disque divisée par son rayon au carré        (= S/r²).

 

D'un point de vue géométrique, π est donc un nombre très simple. Par contre, lorsqu'on tente de calculer précisément les décimales de Pi, on constate que c'est un nombre très compliqué. Ses décimales sont infinies et impossibles à prévoir. Pi est un nombre dit « irrationnel », c'est-à-dire qu'il ne peut s'écrire sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers comme 1/3 ou 65/4. Il est aussi transcendant : il n'existe aucune équation à coefficients entiers (par exemple x⁵y² + 3x² + xy + y) qui permette de calculer Pi avec précision.

 

π nous a d’abord attiré par son aspect mystique et la place que ce nombre occupe dans les mathématiques en en faisant entre autre une science vivante. Or chacun connaît le récurrent « pi égal trois quatorze » connu depuis l’école primaire ; mais beaucoup savent également que ce n’est qu’une approximation très restreinte du nombre et que ces dernières années mathématiciens et informaticiens se sont lancés dans une course infinie au décimales. Mais à notre échelle de lycéen, nous avons voulu trouver une problématique sur le thème de π qui concilie à la fois mathématiques et sciences physiques. Quelques recherches préliminaires nous ont permis de constater que les implications du nombre π en physique n’étaient malheureusement pas nombreuses et se complexifiaient rapidement. En fait π est avant tout une constante mathématique et c’est dans cette optique là que nous allons tenter d’approximer de façon expérimentale ce nombre avec les  outils à notre portée ; et ce toujours en essayant d’utiliser la physique le plus possible dans nos méthodes d’approximation.

 

 

 

 

Problématique: Comment approximer le nombre Pi ?

 

 

 

 

Plan :

 

I.Quelques approximations historiques du nombre p

I.1        Présentation de p

I.2.       La géométrie en état de grâce. Antiquité – XVII^èmes.

I.3.       Le temps de l’analyse. XVII^ème-XX^èmes

I.4.       Le temps des machines. Aujourd’hui

 

II. Nos approximations expérimentales

II.1       Théorème de l'aiguille de Buffon

II.2.      Méthode de Monte Carlo

II.3.      Notre approximation avec la radioactivité

 

 

 

I.Quelques approximations historiques du nombre p

 

I.1 Présentation de p

 

 

 

 

 

 

   

       p   = 3. 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128

4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196

4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091

4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273

7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436

 

 

 

I.2.  La géométrie en état de grâce. Antiquité – XVII^èmes.

 

Derrière cette célèbre constante se cachent près de 4000 ans de mathématiques !

Pour plus de commodités, le langage moderne et habituel des mathématiques est utilisé ici... Il ne faut pas croire que les Babyloniens écrivaient p et les nombres en décimales. Ils ne connaissaient même pas la trigonométrie et utilisaient la base 60 au lieu de la base 10 . De plus, les signes +, = n'ont été inventés que pendant la renaissance, les écritures de l'antiquité ressemblaient plus à du langage écrit qu'autre chose. Les égyptiens avaient un peu d'avance puisqu'ils utilisaient le système décimal, manipulaient les fractions de numérateur 1, et avaient inventé un signe + et un signe –

Nous allons ici développer l’exemple des Egyptiens qui avec les Babyloniens donnent une des plus anciennes approximations de π.

Sur le Papyrus Rhind, le scribe égyptien Ahmes disait, que si l’on prend les 8/9 du diamètre d’un cercle comme côté d'un carré, alors ce carré aura la même aire que le disque.

Si on suit sa méthode on obtient un approximation de p de la façon suivante :

Soit un cercle de diamètre D = 9

Et le carré circonscrit à ce cercle découpé en 9 carrés. Les 4 carrés des angles sont amputés de moitié. On forme ainsi un octogone.

 

 

 

Pour obtenir une approximation de p, on A₂ = A₃

Soit : p.81/4 = 64

ó p = 256 / 81

ó p = (4/3)⁴

p » 3,16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Papyrus Rhind

 

La dominance de la géométrie, dans le domaine du calcul s’étend sur une longue période jusqu’à l’avènement de l’analyse. Mais pendant toute cette période c’est la méthode d’Archimède qui sera la plus efficace ; nous n’allons pas la développer ici mais juste donner le principe algorithmique.

Il considère un cercle de rayon 1 qu’il encadre en dessinant à l’intérieur et à l’extérieur deux polygones à 3x2ⁿ côtés. Plus il aura de côtés, plus les demi périmètres de chacun des polygones se rapprocheront de π. Archimède, pour n = 5, trouve  (Notez que 3 + 10/70 = 22/7) La précision est relativement bonne, 3 décimales après la virgule à la moyenne.

L’intérêt ici est de retenir le principe qui consiste à approximer le nombre avec la précision voulue sachant que à l’infini () on obtient bien π.

 

 

I.3. Le temps de l’analyse.

 

 

Nous reprenons ce principe de l’algorithme pour expliquer plus en profondeur une formule de Viète (1540-1603) mathématicien reconnu parfois pour avoir été l’inventeur du calcul algébrique.

 

 

Considérons un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle de rayon r.

Son aire est égale à A_n = n x aire (triangle OAB).

Aire OAB = OH.HA = r².sin β.cos β =  r².sin 2β =  r².sin α

On a donc : A_n =

De même l’aire du polygone a 2n côtés sera égale à :

A_2n = 2n x aire (triangle OAC)

A_2n = 2n. r².sin β

D’où :

De la même façon et par suite :

 

Quand k tends vers l’infini l’aire du polygone A₂^k_n tends vers celle du cercle πr². On obtient donc :

π =

 

D’où π

Viète choisit n = 4 d’où β =, cos β = et sin α = 1

Par ailleurs, il savait que cos

D’où sa formule analytique avec une infinité de termes :

π = =

 

Notons que cette méthode ne permet pas d’obtenir rapidement une valeur précise de π (à la main !) mais méritait d’être citée ici pour son originalité – il s’agit de la première formule infinie de π –  (à la calculatrice on obtient pour k = 10,   π = 3.14159234 soit 6 décimales correctes). Viète lui-même, lorsqu’il détermina π avec 9 décimales eut recours la fameuse méthode d’Archimède en prenant 393 216 côtés (3.2¹⁷)

 

 

I.4. Le temps des machines

 

Nous ne pouvons pas à notre niveau approfondir le sujet du calcul actuel de π par informatique. Il met en jeu des formules de plus en plus complexes, et de plus en plus efficaces. Le dernier record en date dans la course aux décimales est celui de l’équipe du professeur Kanada en 2002, avec plus de 1 241 100 000 000 décimales (impossible à lire !). L'efficacité des programmes actuels pour calculer les décimales du nombre p sont de plus en plus rapides à cause d'une part des progrès informatiques et d'autre part à cause des progrès mathématiques non négligeables: aujourd'hui, pour doubler le nombre de décimales calculées, le temps de calcul double seulement (méthode quasi linéaire), alors que jusqu'en 1974 pour doubler le nombre de décimales, il fallait multiplier les temps de calcul par quatre au minimum (méthode quadratique).

Certaine découverte du mathématicien hindou Srinivasa Ramanujan, comprises seulement ces dernières années alors qu'il est mort en 1920 ont été cruciales pour les progrès mathématiques récents du calcul du nombre π.

 

 

 

 

 

II. Nos approximations expérimentales

 

 

 

II.1.   Théorème de l'aiguille de Buffon

 

II.1.a.   Enoncé du théorème

Si on laisse tomber une aiguille de longueur 2a sur un parquet formé de lames de largeur 2b, la probabilité pour que l'aiguille coupe l'une des raies de ce parquet est

II.1.b.   Démonstration

Avec ces hypothèses : longueur d'une aiguille 2a, largeur des lames 2b :
Désignons par y la distance du milieu de l'aiguille () à la raie du bas et par ß l'angle entre l'aiguille et la raie.
Si  ou  alors respectivement, l'aiguille coupe la raie du haut ou celle du bas...
Donc, il y aura intersection si le point P défini par ses coordonnées (ß, y) appartient à la zone hachurée du graphique ci-contre :
Or, la distribution de y sur [0,2b] et de ß sur [0, π /2] est uniforme et donc la probabilité cherchée représente le rapport de l'aire de la surface hachurée à l'aire du rectangle [0,2b]*[0, π/2] (qui contient tous les cas possibles). Or l'aire du rectangle est A=π/2*2b=bπ.
Et l'aire de la surface hachurée est B=

(Les 2 surfaces hachurées ont même aire car elles sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=b)
d'où la probabilité cherchée est p égale à :

p =.

Si l'on a une grande patience, il suffit de lancer un grand nombre de fois l'aiguille sur le sol et de compter le nombre d'intersections.

II.1.c.   Essais

Quelques individus patients ont tenté leur chance au lancer d'aiguilles... Notamment Wolf en 1850 qui se munit de 5000 aiguilles avec a=0.8b et observe 2532 intersections ce qui l'amène à l'approximation π=3.1596.

 

 

 

 

 

II.2.   Méthode de Monte Carlo

 

 

 

II.2.a.   Principe

Cette méthode repose sur une technique aléatoire : le lancer de fléchettes sur une cible circulaire de rayon unitaire inscrite dans un carré de côté de longueur égale à 2. L’aire du disque est de p et celle du carré de 4. La probabilité qu’une fléchette tombe dans la cible est de p/4 (en considérant que le lancer de fléchettes est aléatoire), soit l’aire de la cible sur celle du carré.

Nous adaptons cette méthode à un quart de cercle, de rayon unitaire, inscrit dans un carré, de côté unitaire.

 

II.2.b.   Notre programme

La méthode consiste à tirer au hasard des nombres x et y dans l'intervalle [0,1] (les abscisses et ordonnées respectifs des points M pris au hasard dans ce carré)

Si x² + y² < 1, alors le point M(x; y) appartient au quart de disque de rayon 1 et est dessiné en rouge, sinon il est colorié en bleu.
La probabilité d'obtenir un point rouge est égale au rapport des aires du quart de disque de rayon 1 et du carré de côté 1. Elle est donc égale à p/4.

D’où notre programme rédigé pour calculatrice TI89/92 Plus :

 

Nos valeurs sur TI pour :

• a = 100            p = 3.4
• a = 500            p = 3.12
• a = 1000           p = 3.196
• a = 2000           p = 3.152
• a = 5000           p = 3.1552
• a = 10000         p = 3.1508

 

Notre valeur sur Excel (équivalent  à a = 65536)

π = 3.1432

 

On voit que cette méthode a une convergence très lente vers p.

 

 

 

 

 

 

II.3.   Notre approximation avec la radioactivité

 

 

II.3.a.   Principe

 

Un théorème affirme que deux nombres entiers naturels tirés chacun au hasard on une probabilité de 6/p² d'être premier entre eux (c'est a dire d'avoir un PGCD égal a un). On peut donc essayer de mettre en place l'expérience suivante : calculer une valeur approchée de p, grâce à des mesures expérimentales.

De plus, nous savons que la désintégration de noyaux radioactifs est totalement imprévisible et aléatoire. Donc sur une population donnée, il est impossible de prévoir le nombre de désintégrations pendant un temps donné.

Avec le matériel de notre lycée nous avons eu l'idée de générer des nombres aléatoires. Par utilisation d'un CRAB (compteur Geiger), on détecte le nombre d'impulsions de particules b et de rayonnements γ, sur un intervalle de temps Δt  issus du radioélément Césium 137.

II.3.b    Protocole expérimental

 

On génère des nombres aléatoires de la façon suivante : pour une valeur Δt de 10 secondes, le nombre de désintégrations détectées par le CRAB varie entre 170 à 240. Le seul chiffre véritablement significatif de ces nombres obtenus est celui des unités. A partir de ces unités, on crée des nombres à cinq chiffres en les juxtaposant. On crée donc 84 nombres à partir de 420 mesures.

On calcule ensuite le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de chacun de ces nombres par couples. Pour ce faire, on crée dans Excel un tableau à double entrée qui calcule le PGCD de tous les couples que l’on peut former entre ces nombres soit 3486 couples. On pose le quotient du nombre de couples  dont le PGCD est égal à un (nombres premiers entre eux) sur le nombre total de couples testés. On obtient une approximation de 6/p² et donc de p. On obtient p ≈ 3.4767   Ce résultat peut paraître relativement médiocre mais il peut s’expliquer de la façon suivante : le théorème énoncé plus tôt est valable pour un couple de nombres naturels  pris au hasard dans l’ensemble  soit  et  ; or ici nous avons du borner  à un ensemble  tel que et  . Le fait donc, que l’ensemble de définition des couples dans est restreint par rapport à celui stipulé dans le théorème explique l’imprécision obtenue.

 

On considère dans ce tableau l’opération généralisée de ce qui a été réalisé sous Excel.

Il y a n lettres en ligne qui sont les mêmes n chiffres en colonne.

 

	A	B	…
A	PGCD (A ; A)	PGCD (B ; A)	…
B	PGCD (A ; B)	PGCD (B ; B)	…
…	…	…	…
Xn	PGCD (A ; Xn)	PGCD (B ; Xn)	…
			…
Somme des PGCD s’ils sont égaux à 1	α = somme des PGCD s’ils sont égaux à 1	β = somme des PGCD s’ils sont égaux à 1	…
Approximations de 6/π² par colonne	α/ (n-1)            On retranche 1 car on ne comptabilise pas le PGCD (A ;A)	β/ (n-1)	…
Approximations de π par colonne	RACINE (6/ (α/ (n-1))	RACINE (6/ (β/ (n-1))

 

On en déduit une approximation moyenne de π.

 

Conclusion

 

Approximer π n’est donc pas une mince affaire, comme nous avons pus le voir. Les méthodes sont nombreuses et couvrent l’ensemble des mathématiques. On note tout de même que les méthodes géométriques et analytiques, spécialement lorsqu’elles se présentent sous la forme d’algorithme sont beaucoup plus efficaces que les méthodes probabilistes.

La réalisation de ces TPE nous a permis de constater à quel point π a pus fasciner tant de mathématiciens, de physiciens, d’informaticiens depuis le début de son existence. Même si l’intérêt d’approximer π avec une telle précision peut paraître douteux, cela a permis dans bien des domaines, tant mathématiques, que physique ou informatique, de faire progresser la connaissance scientifique.

En guise de dépassement, on citera l’année 1995, qui marqua un tournant dans la recherche de π. En effet, l’informatique ne constitue pas le plein aboutissement des recherches sur π, les mathématiciens Plouffe, Borwein et Bailey découvrent une formule possédant la propriété inattendue d'autoriser le calcul des décimales binaires du nombre π indépendamment les unes des autres, ce que tout le monde croyait impossible. Ainsi tout le monde peut maintenant savoir que la téraième (10^{12 ème}) décimale de π en base 2 est 1.